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数学|物理 → 世界

题图:M理论-YouTube


这两天知乎上出现了这么一个问题:学数学的人思维都比较偏激吗?;问题描述如下:

总想搞一个证明出来,总想搞一个非常严谨的证明,就好比求一个复杂的定积分等于某个数值,我觉得用数值积分的办法,如果小数点后二十位都与某个值相同,那么就认为就等于这个值,为什么非得用异常严谨的证明一下,我很喜欢物理的思维,直接做个实验,如果很接近就认为他是正确的。再比如,黎曼猜想,算了那么多零点,我觉得完全可以认为它是正确的,为什么非要走极端搞个证明呢?这让我觉得很偏激。再比如素数判定算法,我觉得概率的算法可靠性非常好,为什么非得搞一个确定性的算法?

2015年11月23日补充
有人用严谨来回答问题,可是我问的是偏激,而不是严谨。如果非要谈严谨, 数学如果真的严谨,为什么非欧几何的创始人刚提出非欧几何的时候被排挤而郁郁而终?康托提出集合论,又为何被当成疯子?微积分刚出生的时候又为何解释不清楚增量等于零又不等于零的矛盾?(还不是相当于做个实验,发现微积分确实能用则行?根本就没去考虑内在的逻辑矛盾,反正拿来管用则行)。如果真的严谨,为什么不证明别人的理论是错误的再拒绝别人的理论

直接有关这个问题的回答和思索在知乎里都比较完整了,可以从数学和自然科学的方法,属性各种角度讲清楚为什么数学需要严谨的证明而其他应用可以不要,等等……


但我想讲的是这个问题让我回忆起的某个思考:数学|物理和真实世界的联系是什么样的。

在那之前先安利一本书。史蒂芬-温伯格今年年初出了一本书,叫 To Explain The World; 这本书从人类系统性理解自然的起源讲起,阐述了宗教/自然哲学孕育了自然科学的萌芽,而后科学自立门户成为了直到今天为止最有力的系统。当然,在这个过程中,被自然科学当做得理工具使用的数学也如影随形地发展着。这本书以一个现代前沿物理学家的眼光,看待了从宗教、自然哲学、数学不分家的时代,经历了多次范式更替的自然科学,最终成为一门具有解释力的学科,其中哪些思潮是“有益”的,哪些又是误导性的(@笛卡尔)。

在读这本书之前我就很好奇,为什么数学,或者公式能被用来表示某种自然规律;比如:为什么牛顿常数G等于这个值,万一有轻微的差别该怎么办;为什么$ \frac{1}{2}mv^2 $正好等于动能,万一次方稍微偏离怎么办?而另一方面,数学则让我安心很多,毕竟只要假设公理的正确性,你就可以靠正常人的理智理解后面的推论的正确性;更何况,数学没有假设公理的正确性,所以换些公理我们还能得到其他结论——这是一个有“退路”的学科。

但是有一天,我意识到,数学永远没有办法告诉我们「这个世界」是什么样的;引用一下别人的观点:数学描述了所有可能的世界,而物理描述了「我们」的世界。诚然数学有着无与伦比的严谨性,公理对→结论对,毫无疑问。但在现实世界中,最大的问题恰恰是我们不知道什么是公理;和数学的过程相反,世界的基础法则(如果有)不是我们假设的,所以我们没法严谨地知道什么是这些法则的推论。

历史上哲学也曾有过分别反应了这两种思潮的流派,比如理性主义经验主义;理性主义相信所思最终能得到真实(哲学上严谨的真),而经验主义则否定我们能绕过表象接触本质,而把总结表象和经验作为「逼近」真理的方法。科学毫无疑问是建立在经验主义的基础上的,但现代科学可能更细腻地来说是所谓逻辑实证主义。这个主义着重在表达了对于「无法验证的陈述」的态度:认为这类陈述既不真也不假,而是没有意义; A·J·艾耶尔 《语言,真理,与逻辑》中将此总结为:

一个句子,当且仅当它所表达的命题或者是分析的,或者是经验上可以证实的,这个句子才是字面上有意义的。

所以这么看来,似乎只有科学才能让我们系统客观地了解这个世界的运作。那话说回来,我们又该如何看待前文中提到的“可能存在的错误”呢?解决方法是一个看似很蠢但实则深刻的道理:可能的错误本身也在科学的考察范围内。

科学本身的发展模式不必多提了,此学科原本就是在不断证明前人的错误与不完备中发展的,所以这层“把错误纳入考查范围”是每个人都懂的;而另一种“把错误考虑在其中”则晦涩的多。这也终于回应到了题图:M理论。我觉得这个例子能反应近代物理(此为理论物理)研究到达了一个怎样的程度。


M理论是弦理论的一个拓展,某种意义上说,弦理论也好,超弦理论也罢,还有M理论什么的,都属于未验证的理论;但他们的有趣之处在于这些理论的形成过程。

很长一段时间以来,物理学都是在观察自然,搭建实验,尝试用某种数学模型来总结规律;这个套路在大多数时候都相当管用,因为在研究之前我们能看到研究的对象和大概的结果。

但随着近代物理学,特别是量子物理带出的微观理论的发展,越来越多的理论其实在恰好做出来之前都没有任何标志:这个状态会极大地阻碍物理学继续发展,因为物理学家不知道从何下手、设计怎样的实验来寻找规律。

所以在粒子物理学界诞生了这样一种模式:找到A理论预言在X情况下会出现Y,而B理论预言在X情况下会出现Z,所以我们只要能做出X情况就知道这两个理论的情况了。当然,这是过度简化的过程,但意思即是说:理论指导实验方向,实验验证理论。

而弦理论和M理论这一票东西,就是在这个大背景下产生的。物理的基础性理论在上个世纪经历了一次爆发式的发展,随之而来的是实验物理学的高速发展:因为他们知道设计什么样的实验来验证不同理论预言之间的细微差别。

上面这段还请各位斧正(但目前并没有评论)


再回到题头,关于数学。

如果没有实际的对象,数学技巧和工具将会变成纯粹的智力游戏,在此不是说数学离开科学价值就会消失,而是在强调数学的重要性:现代理论物理依然在等待数学工具上的突破以期望解决部分问题,比如量子场论试图把广义相对论和量子力学合体时遇到的困难等。